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By Dirk Ferus

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H. a < b + 2 f¨ ur jedes > 0. Daher ist a ≤ b. Ein wichtiger Begriff ist der der Teilfolge: 48 Definition 79. Sei (xn ) eine Folge. Eine Teilfolge von (xn ) ist eine Folge (yk )k∈N , f¨ ur die es eine streng monoton wachsende Folge (nk )k∈N nat¨ urlicher Zahlen gibt, so dass yk = xnk f¨ ur alle k ∈ N. Man sagt oft einfach: Sei (xnk )k∈N eine Teilfolge von (xn ). Die Teilfolge entsteht aus der Originalfolge durch Weglassen von Gliedern, so dass aber noch eine unendliche Folge verbleibt. n Beispiel 80.

Daher ist a ≤ b. Ein wichtiger Begriff ist der der Teilfolge: 48 Definition 79. Sei (xn ) eine Folge. Eine Teilfolge von (xn ) ist eine Folge (yk )k∈N , f¨ ur die es eine streng monoton wachsende Folge (nk )k∈N nat¨ urlicher Zahlen gibt, so dass yk = xnk f¨ ur alle k ∈ N. Man sagt oft einfach: Sei (xnk )k∈N eine Teilfolge von (xn ). Die Teilfolge entsteht aus der Originalfolge durch Weglassen von Gliedern, so dass aber noch eine unendliche Folge verbleibt. n Beispiel 80. Die Folge (1/2n) ist eine Teilfolge der Folge ( (−1) n )n≥1 .

Also ist die Folge (xn )n>N beschr¨ankt, und die endlich vielen Glieder x0 , . . , xN −1 ¨andern daran nichts. Als n¨ achstes w¨ ahlen wir nach Satz 83 eine monotone Teilfolge (xnk )k∈N von (xn ) aus. Diese ist nat¨ urlich wieder beschr¨ ankt, also nach dem Vollst¨andigkeitsaxiom konvergent gegen ein a ∈ R. An dieser Stelle benutzen wir, dass wir es mit R zu tun haben! Schließlich zeigen wir lim xn = a. Sei also > 0. Dann gibt es K ∈ N, so dass |xnk − a| < /2 f¨ ur alle k ≥ K und N ∈ N, so dass |xn − xm | < /2 f¨ ur alle m, n ≥ N.

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Analysis I [Lecture notes] by Dirk Ferus


by Steven
4.2

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