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By MacLane S., G. Birkhoff

ISBN-10: 0828403309

ISBN-13: 9780828403306

This publication goals to provide smooth algebra from first rules, with a purpose to be
accessible to undergraduates or graduates, and this via combining commonplace
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Dazu l¨asst er seine Soldaten in 23er, 29er und 34er Reihe antreten und z¨ahlt jeweils die u¨ brigen Soldaten: 13, 14, 15. Der General weiß noch, dass er vor der Schlacht 20000 Soldaten hatte. Wie viele Soldaten haben die Schlacht u¨ berlebt? Chinesischer Restsatz Im Beweis des n¨achten Satzes werden wir (wie schon an einigen Stellen zuvor) folgende Eigenschaften ganzer Zahlen benutzen, die Ihnen sicher schon aus der Schule bekannt sind. Wir werden sp¨ater in der Vorlesung einen formalen Beweis hierf¨ur (in allgemeinerem Kontext) geben.

Da 16573 10 20000 ist, haben somit 16573 Soldaten die Schlacht u¨ berlebt. 1 Definition Eine Teilmenge S eines Ring (R, +, ·) heißt Teilring von R, falls gilt (i) S ist bez¨uglich + eine Untergruppe von R und (ii) (S, +|S , ·|S ) ist ein Ring. Hierbei bezeichnen +|S und ·|S die Einschr¨ankungen von + : R × R → R und · : R × R → R auf S × S. 2 Bemerkung Ist R ein Ring und ist S ein Teilring von R, so fordern wir nicht, dass R und S dasselbe Einselement haben! Ist dies jedoch der Fall, so nennt man S einen unit¨aren Teilring von R.

3(d). Ist y ∈ R× , so ist x = py −1 . h. p | a. 13 Beispiele (a) In Z gilt: p ∈ R Primelement ⇔ p irreduzibel ⇔ |p| Primzahl. (b) I. A. sind Elemente keine Primelemente. Dazu betrachten wir√den unit¨aren Teilring √ irreduzible √ R := Z + Z · −5 = {a + b −5 | a, b ∈ Z} von C. Wir zeigen, dass p := 2 + −5 in R irreduzibel aber nicht prim ist. Wir betrachten die Abbildung N : R → N0 , r → |r|2 = r · r¯, wobei |r| den komplexen √ Absolutbetrag von r und r¯ die zu r konjugiert komplexe Zahl bezeichnen.

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Algebra by MacLane S., G. Birkhoff


by James
4.4

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